I横浜市立大学 2013年 数学 第I問解答・解説

(1) $e_2=ab+bc+ca$ とおくと $A^2=B+2e_2$ より $e_2=(A^2-B)/2$。また $$C=A^3-3Ae_2+3abc$$ だから $$\displaystyle abc=\frac{C-A^3+3A(A^2-B)/2}{3}=\frac{A^3-3AB+2C}{6}.$$

(2) 二項係数の関係 $$\displaystyle \frac{\binom{2n}{2k+1}}{2k+2}=\frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{2k+2}$$ を使う。$(1+1)^{2n+1}$ と $(1-1)^{2n+1}$ を加えると、二項係数の偶数番目の和は $2^{2n}$。このうち $k=0,\ldots,n-1$ の和は0番目を除いたものなので $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{\binom{2n}{2k+1}}{2k+2}=\frac{2^{2n}-1}{2n+1}.$$

(3) $Z$ の確率を $q$ とすると $P(X)=P(Y)=2q$ かつ $5q=1$。従って $P(X)=P(Y)=2/5,\ P(Z)=1/5$。どれかの文字が出ない事象に包除原理を適用して $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{3種類すべて}) &=1-2\left(\frac35\right)^5-\left(\frac45\right)^5 +2\left(\frac25\right)^5+\left(\frac15\right)^5\\ &=\frac{336}{625}. \end{aligned}$$

(4) 中心を $\mathbf c=(1,\sqrt3)$、$A$ の列を $\mathbf u,\mathbf v$、$\mathbf d=A\mathbf c-\mathbf c$ とする。$|\mathbf w|=3$ なら $\mathbf c\pm\mathbf w$ は円上なので、像が円上にある条件から $$|\mathbf d+A\mathbf w|^2=|\mathbf d-A\mathbf w|^2=9.$$ 差をとると $\mathbf d\cdot A\mathbf w=0$。$\mathbf w=(3,0),(0,3)$ とし、$A$ は逆行列をもつので、その二つの列ベクトルは平行でない。したがって $\mathbf d=0$、すなわち $A\mathbf c=\mathbf c$。同じ条件から $|A\mathbf w|=3$ がすべての $|\mathbf w|=3$ で成り立つ。$\mathbf w=(3,0),(0,3),(3/\sqrt2,3/\sqrt2)$ を代入すると、列ベクトルは長さ1で互いに直交する。 第1列を $(p,r)$ とすると、第2列は $(-r,p)$ または $(r,-p)$。前者を $A\mathbf c=\mathbf c$ に代入すると $p=1,r=0$、すなわち単位行列となり除外される。後者では $$p+\sqrt3r=1,\qquad r-\sqrt3p=\sqrt3,$$ ゆえに $p=-1/2,r=\sqrt3/2$。従って $$\displaystyle A=\begin{pmatrix}-\dfrac12&\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2pt]\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac12\end{pmatrix}.$$ この反射は中心 $\mathbf c$ を固定し、距離を保つので条件を満たす。

(5) $u=x+\pi/4$ とおくと $\sin x+\cos x=\sqrt2\sin u$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt2}{\sin x+\cos x}\,dx &=\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\csc u\,du\\ &=\left[\ln\tan\frac{u}{2}\right]_{\pi/4}^{3\pi/4} =\ln(3+2\sqrt2). \end{aligned}$$