21自治医科大学 2008年 数学 第21問解答・解説

$f(x)=-x^2+2x+1$ とおき、接点の $x$ 座標を $t$ とする。導関数は $f'(x)=-2x+2$ だから、$x=t$ における接線は $$y=f'(t)(x-t)+f(t)=(2-2t)x+t^2+1$$ である。この接線が $(2,5)$ を通る条件は $$5=2(2-2t)+t^2+1 \quad\text{すなわち}\quad t(t-4)=0$$ なので、接点の $x$ 座標は $0,4$ である。対応する2本の接線は $$y=2x+1,\qquad y=-6x+17$$ となる。

放物線と接線との差は、それぞれ $$(2x+1)-f(x)=x^2,\qquad (-6x+17)-f(x)=(x-4)^2$$ であり、いずれも0以上である。2本の接線は $x=2$ で交わる。$0\le x\le2$ では $2x+1$ が低い方の接線、$2\le x\le4$ では $-6x+17$ が低い方の接線なので、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_0^2 x^2\,dx+\int_2^4(x-4)^2\,dx\\ &=\frac{8}{3}+\frac{8}{3} =\frac{16}{3}. \end{aligned}$$ したがって $$\displaystyle \frac{3S}{2}=\frac{3}{2}\cdot\frac{16}{3}=8.$$

検算として、求めた接線はいずれも $(2,5)$ を通り、接点 $x=0,4$ で放物線に接する。また、面積の被積分関数 $x^2$ と $(x-4)^2$ はそれぞれの区間で0以上であり、面積の符号も正しい。よって答えは $\boxed{8}$、共通選択肢では $\boxed{\text{ラ}}$ である。