23自治医科大学 2008年 数学 第23問解答・解説

接点の $x$ 座標を、それぞれ $C_1$ 上で $u$、$C_2$ 上で $v$ とする。各放物線の導関数は $$C_1'(x)=2x+2,\qquad C_2'(x)=-4x.$$ したがって、接点が $u$ である $C_1$ の接線は $$y=(2u+2)x+4-u^2,$$ 接点が $v$ である $C_2$ の接線は $$y=-4vx+1+2v^2$$ である。

両方に接する直線の傾きを $m$ とすると $$\displaystyle u=\frac{m-2}{2},\qquad v=-\frac m4.$$ 2本の接線が一致するためには切片も等しいから $$\displaystyle 4-\frac{(m-2)^2}{4}=1+\frac{m^2}{8},$$ よって $$3m^2-8m-16=0, \qquad (3m+4)(m-4)=0.$$ 共通接線の傾きは $\displaystyle m=4, -\frac43$ である。実際、$m=4$ では接点が $u=1,v=-1$ となり、両方の接線は $y=4x+3$ で一致する。また $\displaystyle m=-\frac43$ では $\displaystyle u=-\frac53,v=\frac13$ となり、両方の接線は $\displaystyle y=-\frac43x+\frac{11}{9}$ で一致する。したがって最大の傾きは $$\boxed{m=4}.$$