14自治医科大学 2008年 数学 第14問解答・解説

第1の直線から $y=2x+4$。これを第2の直線に代入すると $$\displaystyle 5x-4(2x+4)-k=0, \qquad x=-\frac{k+16}{3},\quad y=-\frac{2(k+10)}{3}.$$ 3直線が同一点を通るには、この点が第3の直線上にもあるから $$\displaystyle -\frac{k+16}{3}-\frac{2k(k+10)}{3}+22=0.$$ 両辺に $3$ をかけて整理すると $$2k^2+21k-50=0 \quad\text{すなわち}\quad (k-2)(2k+25)=0.$$ したがって $k=2$ または $\displaystyle k=-\frac{25}{2}$。条件 $k>0$ より $k=2$。 実際、$k=2$ では第1、第2の直線の交点は $(-6,-8)$ であり、 $$-6+2(-8)+22=0$$ となって第3の直線上にもある。ゆえに求める値は $2$、共通の選択肢では $\text{サ}$ である。