25自治医科大学 2008年 数学 第25問解答・解説

2つの放物線が $(1,2)$ で交わるので、$y=-x^2+px+q$ に $x=1,y=2$ を代入して $$-1+p+q=2,\qquad p+q=3. \tag{1}$$ 区間ごとの定義に従って積分を分ける。 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^1(2x^2-5x+5)\,dx &=\left[\frac23x^3-\frac52x^2+5x\right]_0^1=\frac{19}{6},\\ \int_1^2(-x^2+px+q)\,dx &=\left[-\frac13x^3+\frac p2x^2+qx\right]_1^2 =-\frac73+\frac32p+q. \end{aligned}$$ したがって条件 $\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx=\frac{10}{3}$ は $$\displaystyle \frac{19}{6}-\frac73+\frac32p+q=\frac{10}{3}, \qquad \frac32p+q=\frac52. \tag{2}$$ (2) から (1) を引くと $\displaystyle \frac12p=-\frac12$ となるので $p=-1$、従って $q=4$ である。

検算すると、$p=-1,q=4$ のとき第2区間の関数は $-x^2-x+4$ であり、$x=1$ で第1区間の関数とともに $2$ をとる。また $$\displaystyle \int_1^2(-x^2-x+4)\,dx=\frac16, \qquad \frac{19}{6}+\frac16=\frac{10}{3},$$ となり、条件と一致する。