17自治医科大学 2008年 数学 第17問解答・解説

分母は平方完成により $$\displaystyle x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0,\qquad x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0$$ である。したがって不等式の両辺に分母を掛けても向きは変わらず、次の不等式と同値である。 $$\begin{aligned} F(x)&=(x-a)(x^2-x+1)-(x-b)(x^2+x+1)\\ &=(b-a-2)x^2+(a+b)x+(b-a)>0. \end{aligned}$$ この不等式を満たす範囲がちょうど $\displaystyle \frac12<x<1$ なので、二次式 $F(x)$ は区間の両端で $0$ となる。実際、端点で正ならその近くの区間外にも正の値をとり、負なら区間内の近くで負となるため、連続性から両端の値は $0$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} F\left(\frac12\right)=0&\quad\text{より}\quad -3a+7b-2=0,\\ F(1)=0&\quad\text{より}\quad 3b-a-2=0. \end{aligned}$$ 第二式から $a=3b-2$ であり、これを第一式に代入すると $$-3(3b-2)+7b-2=0\quad\text{より}\quad b=2,\quad a=4.$$ 確認すると $$F(x)=-4x^2+6x-2=-2(2x-1)(x-1).$$ この値は $\displaystyle \frac12<x<1$ で正、それ以外では負または端点で $0$ となる。したがって条件を満たし、求める値は $$\boxed{a=4}\quad\text{（選択肢ナ）}.$$