6自治医科大学 2008年 数学 第6問解答・解説

正五角形の頂点を順に $A,B,C,D,E$ とし、一辺の長さを $s$、対角線の長さを $d$ とする。対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $P$ とする。正五角形の内角は $$\displaystyle \frac{(5-2)\cdot180^\circ}{5}=108^\circ$$ であるから、二等辺三角形 $ABC$ では $\angle BAC=\angle BCA=36^\circ$ となる。

まず、正五角形の中心を $O$ とすると、隣り合う頂点に対する中心角 $\angle AOB=72^\circ$ である。円周角の定理より $\angle ADB=36^\circ$ である。また $AD=BD=d$ なので、二等辺三角形 $ABD$ の底角は $\angle ABD=72^\circ$ である。したがって、三角形 $ABP$ では $\angle BAP=36^\circ$、$\angle ABP=72^\circ$ であり、$\angle APB=72^\circ$ となる。よって $AP=AB=s$ である。

次に、$BC=CD=s$ と $\angle BCD=108^\circ$ から、$\angle DBC=36^\circ$ である。$B,P,D$ は一直線上、$A,P,C$ も一直線上にあるので、三角形 $PBC$ では $\angle PBC=\angle BCP=36^\circ$、したがって $\angle BPC=108^\circ$ となる。この三角形は三角形 $ABC$ と相似であり、角の対応は $A\leftrightarrow B$、$B\leftrightarrow P$、$C\leftrightarrow C$ である。$PB=PC=t$ とおくと、対応辺の比より $$\displaystyle \frac{PB}{AB}=\frac{PC}{BC}=\frac{BC}{AC},\qquad \frac{t}{s}=\frac{s}{d},\qquad t=\frac{s^2}{d}.$$ 一方、$AC=AP+PC$ であるから $d=s+t$。これと上式から $$\displaystyle d=s+\frac{s^2}{d},\qquad d^2=sd+s^2.$$ したがって $r=d/s$ とおけば $r^2-r-1=0$ である。$r>0$ より $$\displaystyle r=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$ よって、$s=\sqrt5-1$ を代入すると、求める対角線の長さは $$\displaystyle d=sr=(\sqrt5-1)\frac{1+\sqrt5}{2}=2.$$ 選択肢の数字2に対応する記号はサである。

検算として $d=2$、$s=\sqrt5-1$ は $d^2=sd+s^2$ を満たす。実際、$2(\sqrt5-1)+(\sqrt5-1)^2=4=d^2$ である。