10自治医科大学 2008年 数学 第10問解答・解説

$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおく。$s^2+c^2=1$ と条件から $$\displaystyle (s-c)^2=s^2+c^2-2sc=\frac12$$ なので、$\displaystyle sc=\frac14$ である。したがって $$\displaystyle (s+c)^2=s^2+c^2+2sc=\frac32,\qquad s^2-sc+c^2=1-sc=\frac34.$$ 立方和の因数分解を用いると $$\displaystyle (s^3+c^3)^2=\bigl((s+c)(s^2-sc+c^2)\bigr)^2 =\frac32\left(\frac34\right)^2=\frac{27}{32}.$$ よって $$\displaystyle \frac{1}{(\sin^3\theta+\cos^3\theta)^2}=\frac{32}{27}.$$ これが $\displaystyle \frac{8a}{27}$ に等しいので、$8a=32$、したがって $a=4$ である。選択肢の数字4に対応する記号はナである。

検算すると、$a=4$ のとき $\displaystyle \frac{8a}{27}=\frac{32}{27}$ であり、上で求めた逆数と一致する。また $(s^3+c^3)^2=27/32>0$ なので、与式の分母は0ではない。