4岡山大学 2008年 数学 第4問解答・解説

$$s=\sin\theta,\quad c=\cos\theta,\quad \alpha=s+c$$ とおく。$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ より $s,c>0$ であり、 $$\displaystyle x=\frac{\cos t}{1-\sin t}=\frac{1+\sin t}{\cos t},\qquad y=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{1+\cos t}{\sin t}$$ である。したがって $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{1+\sin t}{\cos^2 t},\qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{1+\cos t}{\sin^2 t}.$$ $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$ では $\displaystyle \frac{dx}{dt}>0$ なので、$t=\theta$ における接線の傾きは $$\displaystyle \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\theta} =-\frac{(1+c)c^2}{s^2(1+s)} =-\frac{1-s}{1-c},$$ ここで $c^2=(1-s)(1+s)$、$s^2=(1-c)(1+c)$ を用いた。よって接線は $$\displaystyle y-\frac{s}{1-c} =-\frac{1-s}{1-c}\left(x-\frac{c}{1-s}\right),$$ すなわち $$(1-s)x+(1-c)y=s+c.$$ したがって $$\boxed{\ell:\ (1-\sin\theta)x+(1-\cos\theta)y =\sin\theta+\cos\theta}.$$

この直線の $x$ 軸、$y$ 軸との交点の座標はそれぞれ $$\displaystyle \left(\frac{\alpha}{1-s},0\right),\qquad \left(0,\frac{\alpha}{1-c}\right)$$ である。両方の切片は正だから、三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12\cdot\frac{\alpha}{1-s}\cdot\frac{\alpha}{1-c} =\frac{\alpha^2}{2(1-s)(1-c)}.$$ また $\alpha^2=s^2+c^2+2sc=1+2sc$ より $$\displaystyle (1-s)(1-c)=1-\alpha+sc =1-\alpha+\frac{\alpha^2-1}{2} =\frac{(\alpha-1)^2}{2}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{S=\frac{\alpha^2}{(\alpha-1)^2}}.$$

さらに $$\alpha^2=(s+c)^2=1+\sin 2\theta$$ であり、$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ から $0<\sin2\theta\leq1$ なので $1<\alpha\leq\sqrt2$ である。$\displaystyle S=(1+\frac{1}{\alpha-1})^2$ はこの範囲で $\alpha$ が大きくなるほど小さくなる。したがって最小値は $\alpha=\sqrt2$ のときに取り、 $$\displaystyle S_{\min}=\frac{2}{(\sqrt2-1)^2}=6+4\sqrt2.$$ 一方、$\alpha\to1+0$ のとき $S\to+\infty$ で上限はない。よって $$\boxed{6+4\sqrt2\leq S<\infty}.$$