自治医科大学 2013年数学第1問解答・解説

いろいろな式

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1問題

自治医科大学2013年度第1問

$x^{6}+2x^{5}+4x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+8x+6$ が $x^{3}+2$ で割り切れるとき, $a+b$ の値を求めよ。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

除式の関係を使って多項式の余りを直接求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$a+b=9\quad($ ワ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$x^3+2$ で割り切れるためには、 $x^3=-2$ とおいたときの余りが0になればよい。 $x^4=-2x,\ x^5=-2x^2,\ x^6=4$ だから、 $x^6+2x^5+4x^4+ax^3+bx^2+8x+6 \equiv 4-4x^2-8x-2a+bx^2+8x+6 =(b-4)x^2+(10-2a).$ よって $b=4,\ a=5$ であり、 $a+b=9$ 。選択肢はワである。

この問題で使う考え方

多項式の除法

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