自治医科大学 2013年数学第7問解答・解説

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1問題

自治医科大学2013年度第7問

$10\cos^{2}\theta-24\sin\theta\cos\theta-5=0$ のとき, $|\tan\theta|$ の値を求めよ。ただし, $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ とする。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

tanθで二次方程式に直し、象限条件で根を選んだ。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$|\tan\theta|=5\quad($ ハ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\pi/2<\theta<\pi$ なので $\cos\theta\ne0$ である。 $t=\tan\theta$ とおき、与式を $\cos^2\theta$ で割ると $\displaystyle 10-24t-5\frac1{\cos^2\theta}=0.$ $\displaystyle \frac1{\cos^2\theta}=1+t^2$ を使えば $5t^2+24t-5=0 \quad\text{より}\quad (5t-1)(t+5)=0.$ したがって $t=1/5$ または $t=-5$ 。第2象限では $\tan\theta<0$ だから $t=-5$ 、よって $|\tan\theta|=5$ 。選択肢はハである。

この問題で使う考え方

三角関数の相互関係
鈍角の三角比
二次方程式とグラフ

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