25自治医科大学 2013年 数学 第25問解答・解説

$C_1$ の $x=u$ における接線の傾きは $-2u+2$、$C_2$ の $x=v$ における接線の傾きは $-2v+8$ である。共通接線より $$-2u+2=-2v+8,\qquad v-u=3.$$ 放物線 $y=-x^2+2hx+d$ の $x=t$ における接線の切片は $t^2+d$ である。従って共通接線の切片条件は $$u^2-3=v^2-21,\qquad (u-v)(u+v)=-18.$$ $u-v=-3$ を用いると $u+v=6$、よって $u=3/2,\ v=9/2$。接線は $L:y=-x-3/4$ となる。 2曲線の交点は $$-x^2+2x-3=-x^2+8x-21\quad\text{より}\quad x=3.$$ また $$\displaystyle L-C_1=(x-\tfrac32)^2,\qquad L-C_2=(x-\tfrac92)^2.$$ よって囲まれる面積は $$\displaystyle S=\int_{3/2}^{3}(x-\tfrac32)^2\,dx+\int_3^{9/2}(x-\tfrac92)^2\,dx =\frac98+\frac98=\frac94.$$ 従って $4S=9$。選択肢はワである。