自治医科大学 2013年数学第9問解答・解説

二次関数数学と人間の活動（整数）

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1問題

自治医科大学2013年度第9問

$m,n\ (n>0)$ は整数とする。 $m^{2}-6m+1+2n=0$ をみたす整数の組 $(m,n)$ は, 何個あるか。

選択肢: ア 0, カ 1, サ 2, タ 3, ナ 4.

ハ 5, マ 6, ヤ 7, ラ 8, ワ 9.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

平方完成でmを有限個に絞り、整数性と偶奇で候補を選んだ。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3 組 $\quad($ タ)

4解答

解答を見る途中式つきの解答

式を整理すると $2n=8-(m-3)^2.$ $n>0$ より $(m-3)^2<8$ なので、整数 $m$ は $1,2,3,4,5$ に限られる。また $2n$ が偶数であるため、 $8-(m-3)^2$ は偶数、したがって $m-3$ は偶数である。候補は $m=1,3,5$ となり、それぞれ $n=2,4,2$ を与える。よって条件を満たす整数組は3個である。選択肢はタである。

この問題で使う考え方

二次不等式とグラフ
約数・倍数

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