7東邦大学 2013年 数学 第7問解答・解説

$(1-x)^5$ から $x^i$ を、$(1+y)^6$ から $y^j$ を選び、最後の因子から $-1/x$ を $p$ 個、$1/y$ を $q$ 個選ぶとする。最後の因子では残り $7-p-q$ 個の $1$ を選ぶ。指数条件は $$i-p=4,\qquad j-q=5.$$ $i\leq5,\ j\leq6$ より $p,q$ はそれぞれ $0$ または $1$ である。各選び方の係数は $$\displaystyle (-1)^i(-1)^p\binom5i\binom6j\frac{7!}{p!q!(7-p-q)!} =(-1)^{i+p}\binom5{4+p}\binom6{5+q}\frac{7!}{p!q!(7-p-q)!} =(-1)^{4+2p}\binom5{4+p}\binom6{5+q}\frac{7!}{p!q!(7-p-q)!}.$$ したがって、$x^4y^5$ の係数は $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} p&q&\text{係数}\\\hline 0&0&\binom54\binom65=30\\ 1&0&\binom55\binom65\cdot7=42\\ 0&1&\binom54\binom66\cdot7=35\\ 1&1&\binom55\binom66\cdot42=42 \end{array}$$ の和であり、$30+42+35+42=149$。よって、求める係数は $\boxed{149}$ である。