3熊本大学 2013年 数学 第3問解答・解説

扇形の中心を $O$、内接する円の中心を $I$、その半径を $r$ とする。内接円は扇形の二辺に接するので、$I$ は中心角の二等分線上にある。$OI=d$ とおくと、二等辺三角形を二等分してできる直角三角形から $r=d\sin(\theta/2)$ である。また、内接円は半径 $1$ の弧に内接するから、$d+r=1$ である。したがって $r=(1-r)\sin(\theta/2)$ より、$$\displaystyle f(\theta)=r=\frac{\sin(\theta/2)}{1+\sin(\theta/2)}.$$

$s=\sin(\theta/2)$ とおくと、$0<\theta<\pi$ では $0<s<1$ かつ $\cos(\theta/2)>0$ である。微分すると、$$\displaystyle f'(\theta)=\frac{\cos(\theta/2)}{2(1+s)^2}>0,\qquad f''(\theta)=-\frac{2-s}{4(1+s)^2}<0.$$よって $f$ は単調に増加し、$f'$ は単調に減少する。

最後に、$$\displaystyle f(\theta)=1-\frac{1}{1+\sin(\theta/2)}.$$区間 $\pi/3\leq\theta\leq\pi/2$ では $\cos(\theta/2)\ne0$ であり、$$\displaystyle \frac{1}{1+\sin u}=\frac{1-\sin u}{\cos^2u}=\sec^2u-\sec u\tan u$$を用いると、$\displaystyle \int f(\theta)\,d\theta=\theta-2\tan(\theta/2)+2\sec(\theta/2)$ となる。したがって、$$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\pi/3}^{\pi/2}f(\theta)\,d\theta&=\left[\theta-2\tan(\theta/2)+2\sec(\theta/2)\right]_{\pi/3}^{\pi/2}\\&=\left(\frac{\pi}{2}-2+2\sqrt2\right)-\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2}{\sqrt3}\right)\\&=\frac{\pi}{6}-2+2\sqrt2-\frac{2}{\sqrt3}.\end{aligned}$$