2熊本大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$\vec{OA}=\mathbf a,\ \vec{OB}=\mathbf b$ とおく。成分から $\mathbf a\cdot\mathbf a=3,\ \mathbf b\cdot\mathbf b=9,\ \mathbf a\cdot\mathbf b=-3$ である。平面 $OAB$ 上の点 $P$ を $\vec{OP}=x\mathbf a+y\mathbf b$ と表すと、領域 $D$ の条件は $3x-3y\geq0,\ -3x+9y\geq0$ となる。

(問1) $\vec{OQ}=k\mathbf a+(1-k)\mathbf b$ だから $x=k,\ y=1-k$ である。したがって $\vec{OA}\cdot\vec{OQ}=6k-3\geq0$ より $\displaystyle k\geq\frac12$、また $\vec{OB}\cdot\vec{OQ}=9-12k\geq0$ より $\displaystyle k\leq\frac34$。よって $\displaystyle \frac12\leq k\leq\frac34$。

(問2) $C$ の位置ベクトルを $\mathbf c$ とし、円周上の点の位置ベクトルを $\mathbf c+\mathbf u$ とする。このとき $|\mathbf u|=\sqrt6$ である。円周全体が $D$ に含まれるための条件は、内積の最小値を考えて $\mathbf a\cdot\mathbf c\geq|\mathbf a|\sqrt6=3\sqrt2,\quad \mathbf b\cdot\mathbf c\geq|\mathbf b|\sqrt6=3\sqrt6$ である。実際、各内積はそれぞれ $\mathbf u$ が $-\mathbf a,-\mathbf b$ と同じ向きのとき最小になり、この条件は必要十分である。

$\displaystyle \alpha=\frac{3\sqrt2+\sqrt6}{2},\ \beta=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{2}$ とおき、$\mathbf c_0=\alpha\mathbf a+\beta\mathbf b$ とする。$\alpha,\beta>0$、かつ $\alpha-\beta=\sqrt2,\ -\alpha+3\beta=\sqrt6$ だから、$\mathbf a\cdot\mathbf c_0=3\sqrt2,\ \mathbf b\cdot\mathbf c_0=3\sqrt6$ となり、$\mathbf c_0$ は条件を満たす。任意の条件を満たす $\mathbf c$ に対し、$\mathbf c_0\cdot(\mathbf c-\mathbf c_0)=\alpha(\mathbf a\cdot\mathbf c-3\sqrt2)+\beta(\mathbf b\cdot\mathbf c-3\sqrt6)\geq0$ であるから、$|\mathbf c|^2=|\mathbf c_0|^2+2\mathbf c_0\cdot(\mathbf c-\mathbf c_0)+|\mathbf c-\mathbf c_0|^2\geq|\mathbf c_0|^2$。等号は $\mathbf c=\mathbf c_0$ のときに限る。

$\mathbf a=(-1,1,1),\ \mathbf b=(2,1,-2)$ を代入すると、$\displaystyle \mathbf c_0=\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2},\ 2\sqrt2+\sqrt6,\ \frac{\sqrt2-\sqrt6}{2}\right)$。これが求める点 $C$ の座標である。