4琉球大学 2013年 数学 第4問解答・解説

$\boldsymbol p=(1,m)$、$\boldsymbol n=(-m,1)$ とおくと $\boldsymbol p\cdot\boldsymbol n=0$、$|\boldsymbol p|=|\boldsymbol n|=\sqrt{1+m^2}$。正三角形の頂点は $$\displaystyle \boldsymbol q=\frac12\boldsymbol p+\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol n,\qquad \boldsymbol r=\frac12\boldsymbol p-\frac{\sqrt3}{2}\boldsymbol n.$$ 従って $$\displaystyle Q=\left(\frac{1-\sqrt3m}{2},\frac{m+\sqrt3}{2}\right),\qquad R=\left(\frac{1+\sqrt3m}{2},\frac{m-\sqrt3}{2}\right).$$ また $y_Q-mx_Q=\sqrt3(1+m^2)/2>0$、$y_R-mx_R=-\sqrt3(1+m^2)/2<0$ なので指定された側を選んでいる。

一次変換は $\boldsymbol p$ を固定し、$\boldsymbol q$ を $\boldsymbol r=\boldsymbol p-\boldsymbol q$ に送る。よってこれは直線OPに関する反射であり、単位方向 $\boldsymbol p$ を保ち、それに垂直な方向 $\boldsymbol n$ の成分の符号を反転する。行列は $$\displaystyle A=\frac{2\boldsymbol p\boldsymbol p^{\mathsf T}}{1+m^2}-I =\frac1{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2&2m\\ 2m&m^2-1 \end{pmatrix}.$$ この行列は $\boldsymbol p$ をそのままにし、$\boldsymbol q$ の $\boldsymbol n$ 成分だけを反転するため、$Q$ を $R$ に移す。