3琉球大学 2013年 数学 第3問解答・解説

agraph{解答} 3個の赤球の位置は全体 $\displaystyle \binom{a+3}{3}$ 通りから等確率に選ばれる。2番目の赤球が位置 $n+1$ にある場合，最初の赤球の位置は $1,\ldots,n$ の $n$ 通り，3番目はその後の $a+2-n$ 通りだから $$\displaystyle p_n=\frac{n(a+2-n)}{\binom{a+3}{3}},\qquad 1\le n\le a+1.$$

問1 $a=4,n=3$ なので $\displaystyle p_3=3(6-3)/\binom73=9/35$。

問2 分母によらず，分子 $n(a+2-n)$ を最大化すればよい。これは軸が $n=(a+2)/2$ の上に凸な二次式。よって $a$ 偶数なら唯一の最大整数は $(a+2)/2$，$a$ 奇数なら隣接する2整数 $(a+1)/2,(a+3)/2$ が最大。

問3 $$\displaystyle E[X]=\frac{\sum\limits _{n=1}^{a+1}n^2(a+2-n)}{\binom{a+3}{3}}.$$ $m=a+1$ とおくと分子は $\displaystyle (m+1)\sum\limits _{n=1}^m n^2-\sum\limits _{n=1}^m n^3=m(m+1)^2(m+2)/12$。分母 $\displaystyle \binom{m+2}{3}=m(m+1)(m+2)/6$ で割れば $E[X]=(m+1)/2=(a+2)/2$。