1昭和大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) 1回の試行で赤玉が出る確率は $1/10$、白玉が出る確率は $9/10$ である。10回のうち赤玉が出る8回の選び方は $\displaystyle \binom{10}{8}$ 通りなので、求める確率は $$\displaystyle \binom{10}{8}\left(\frac1{10}\right)^8\left(\frac9{10}\right)^2 =\frac{3645}{10^{10}}=\frac{729}{2\cdot10^9}.$$

(2) 1回の試行で赤玉が出る確率は $1/n$、白玉が出る確率は $(n-1)/n$ である。$n$ 回のうち赤玉が出る8回を選ぶと $$\displaystyle P_n=\binom{n}{8}\left(\frac1n\right)^8\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-8} =\frac{\binom{n}{8}(n-1)^{n-8}}{n^n}\qquad(n\geq8).$$

(3) (2)の式を $$\displaystyle P_n=\left\{\frac1{8!}\prod\limits _{j=0}^{7}\left(1-\frac{j}{n}\right)\right\}\left(1-\frac1n\right)^{n-8}$$ と書き直す。有限個の積だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1{8!}\prod\limits _{j=0}^{7}\left(1-\frac{j}{n}\right)=\frac1{8!}.$$ また、基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(1-1/n)^n=e^{-1}$ と $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(1-1/n)^{-8}=1$ より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^{n-8}=e^{-1}.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}P_n=\frac1{8!e}.$$