4昭和大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1-1) $\sin x=\cos x$ となるのは $x=\pi/4$ である。$0\le x\le\pi/4$ では $\cos x\geq\sin x$、$\pi/4\le x\le\pi/2$ では $\sin x\geq\cos x$ だから、図形の上側は直線 $y=1$、下側は前半では $y=\cos x$、後半では $y=\sin x$ である。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^{\pi/4}(1-\cos x)\,dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}(1-\sin x)\,dx\\ &=\left(\frac\pi4-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\left(\frac\pi4-\frac{\sqrt2}{2}\right) =\frac\pi2-\sqrt2. \end{aligned}$$

(1-2) 回転軸は $y=1$ である。各 $x$ における断面は半径が $1-\cos x$（$0\leq x\leq\pi/4$）または $1-\sin x$（$\pi/4\leq x\leq\pi/2$）の円となる。よって $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/4}(1-\cos x)^2\,dx +\pi\int_{\pi/4}^{\pi/2}(1-\sin x)^2\,dx.$$ 置換 $u=\pi/2-x$ により二つの積分は等しい。また $$\displaystyle \int_0^{\pi/4}(1-\cos x)^2\,dx =\left[\frac{3x}{2}-2\sin x+\frac{\sin2x}{4}\right]_0^{\pi/4} =\frac{3\pi}{8}-\sqrt2+\frac14.$$ したがって $$\displaystyle V=2\pi\left(\frac{3\pi}{8}-\sqrt2+\frac14\right) =\frac{3\pi^2}{4}-2\sqrt2\pi+\frac\pi2.$$

(2) 放物線上の点を $P=(x,x^2-2)$ とおく。距離の二乗 $$G(x)=(x-1)^2+(x^2-2)^2=x^4-3x^2-2x+5$$ を最小にすればよい。微分すると $$G'(x)=2(2x^3-3x-1)=2(x+1)(2x^2-2x-1).$$ 従って臨界点は $$\displaystyle x=-1,\qquad x=\frac{1-\sqrt3}{2},\qquad x=\frac{1+\sqrt3}{2}.$$ また $G(x)\to\infty$（$|x|\to\infty$）なので、最小値はこれらの点のいずれかでとる。臨界点では $2x^3=3x+1$ だから $$\displaystyle G(x)=5-\frac32(x^2+x).$$ これに各臨界点を代入すると $$\displaystyle G(-1)=5,\qquad G\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)=\frac{11+6\sqrt3}{4},\qquad G\left(\frac{1+\sqrt3}{2}\right)=\frac{11-6\sqrt3}{4}.$$ 最後の値が最小である。したがって $x=(1+\sqrt3)/2$ であり、 $$\displaystyle y=x^2-2=\frac{\sqrt3-2}{2}.$$ 求める点は $\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt3}{2},\frac{\sqrt3-2}{2}\right)$ である。