1京都大学 2000年 数学 第1問解答・解説

Aを原点とし、$\mathbf b=\overrightarrow{AB}$、$\mathbf c=\overrightarrow{AC}$ とおく。直線 $AP$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とすると、$BD:DC=p:(1-p)$ より $$\mathbf d=\overrightarrow{AD}=(1-p)\mathbf b+p\mathbf c.$$ $\triangle ABC$ は正三角形だから、$|\mathbf b|=|\mathbf c|=a$、$\mathbf b\cdot\mathbf c=a^2/2$。円の中心 $O$ の位置ベクトルを $\mathbf o$ とすれば、円上の点の位置ベクトル $\mathbf x$ は $$\mathbf x\cdot\mathbf x-2\mathbf o\cdot\mathbf x=0$$ を満たす。$B,C$ を代入すると、$2\mathbf o\cdot\mathbf b=2\mathbf o\cdot\mathbf c=a^2$ である。したがって $$\begin{aligned} \mathbf d\cdot\mathbf d &=a^2\bigl((1-p)^2+p^2+p(1-p)\bigr)\\ &=a^2(p^2-p+1),\qquad 2\mathbf o\cdot\mathbf d=a^2. \end{aligned}$$ $A,D,P$ は一直線上にあるので、$\overrightarrow{AP}=t\mathbf d$ とおく。$P$ は $A$ 以外の円上の点だから、円の式に代入して $$\displaystyle t^2\mathbf d\cdot\mathbf d-ta^2=0,\qquad t=\frac{a^2}{\mathbf d\cdot\mathbf d} =\frac{1}{p^2-p+1}.$$ よって $$\displaystyle \overrightarrow{AP} =\frac{(1-p)\overrightarrow{AB}+p\overrightarrow{AC}}{p^2-p+1}.$$