京都大学 2000年数学第6問解答・解説

場合の数と確率数列極限

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1問題

京都大学2000年度第6問

n, k は整数で，n ≧ 2，0 ≦ k ≦ 4 とする。サイコロを n 回投げて出た目の和を 5 で割ったときの余りが k に等しくなる確率を p_n(k) とする。

(1) p_{n+1}(0), …, p_{n+1}(4) を p_n(0), …, p_n(4) を用いて表せ。

(2) p_n(0), …, p_n(4) の最大値を M_n，最小値を m_n とするとき次の(イ), (ロ)が成立することを示せ。 (イ) m_n ≦ 1/5 ≦ M_n。 (ロ) 任意の k, l (0 ≦ k, l ≦ 4) に対し p_{n+1}(k) - p_{n+1}(l) ≦ 1/6 (M_n - m_n)。

(3) lim_{n→∞} p_n(k) を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle p_{n+1}(k)=\frac{1+p_n(k-1)}6\quad(k\bmod5),\qquad m_n\le\frac15\le M_n,\qquad p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)\le\frac{M_n-m_n}{6},\qquad \lim\limits _{n\to\infty}p_n(k)=\frac15.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

添字は $5$ を法として考える。サイコロの目 $1,2,3,4,5,6$ の余りは $1,2,3,4,0,1$ である。

(1) 最後の1投の余りで分類すると $\displaystyle p_{n+1}(k)=\frac{p_n(k)+2p_n(k-1)+p_n(k-2)+p_n(k-3)+p_n(k-4)}6.$ $\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{4}p_n(j)=1$ だから、これは $\displaystyle p_{n+1}(k)=\frac{1+p_n(k-1)}6$ とも書ける。

(2)(イ) 5つの確率の平均は $1/5$ なので $\displaystyle m_n\le\frac15\le M_n.$ (ロ) 漸化式の差をとると $\displaystyle p_{n+1}(k)-p_{n+1}(l)=\frac{p_n(k-1)-p_n(l-1)}6 \le\frac{M_n-m_n}{6}.$

(3) $R_n=M_n-m_n$ とおく。(ロ)で $n+1$ 回後の最大値と最小値をとる添字を選べば $\displaystyle 0\le R_{n+1}\le\frac{R_n}{6},\qquad 0\le R_n\le\frac{R_2}{6^{n-2}}\longrightarrow0.$ (イ)より $m_n\le1/5\le M_n$ だから、任意の $k$ で $|p_n(k)-1/5|\le R_n\to0$ 。よって $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n(k)=\frac15\qquad(k=0,1,2,3,4).$

この問題で使う考え方

最後の投の余りで分類
確率の漸化式
最大値・最小値の幅による評価
はさみうち

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