4名古屋大学 2018年 数学 第4問解答・解説

時刻0では $P=A,Q=C$。辺の接続は、上段が $A-D-E$、下段が $B-C-F$、縦辺が $AB,CD,EF$ である。$P$ は $B,D$ のいずれかへ、$Q$ は $B,D,F$ のいずれかへ移る。独立に移動するから全 $2\cdot3=6$ 配置が可能で、それぞれの確率は $1/6$。衝突した配置も(1)の「可能な配置」に含める。

(1) 図2にならった模式図を示す。各図は二つの正方形を表し、添字P,Qはその頂点にいる点を示す。 $$\text{(B,B)}\quad \begin{array}{ccccc} A&-&D&-&E\\ \vert&&\vert&&\vert\\ B_{P,Q}&-&C&-&F \end{array}$$ $$\text{(B,D)}\quad \begin{array}{ccccc} A&-&D_Q&-&E\\ \vert&&\vert&&\vert\\ B_P&-&C&-&F \end{array}$$ $$\text{(B,F)}\quad \begin{array}{ccccc} A&-&D&-&E\\ \vert&&\vert&&\vert\\ B_P&-&C&-&F_Q \end{array}$$ $$\text{(D,B)}\quad \begin{array}{ccccc} A&-&D_P&-&E\\ \vert&&\vert&&\vert\\ B_Q&-&C&-&F \end{array}$$ $$\text{(D,D)}\quad \begin{array}{ccccc} A&-&D_{P,Q}&-&E\\ \vert&&\vert&&\vert\\ B&-&C&-&F \end{array}$$ $$\text{(D,F)}\quad \begin{array}{ccccc} A&-&D_P&-&E\\ \vert&&\vert&&\vert\\ B&-&C&-&F_Q \end{array}$$ したがって全配置は $$\begin{aligned} (P,Q)&=(B,B),(B,D),(B,F),\\ (P,Q)&=(D,B),(D,D),(D,F). \end{aligned}$$ このうち $(B,B),(D,D)$ は衝突である。

(2) $p_n$ は時刻 $n$ まで衝突が一度もない確率なので、生き残る配置は4つ。同じ正方形上にいるのは $$(B,D),\quad(D,B),\quad(D,F)$$ であり、異なる正方形上にいるのは $(B,F)$。よって $$\displaystyle a_1=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\qquad b_1=\frac{1}{6}.$$ 時刻1で生き残った各配置から次の一手を数えると、$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}a_1+\frac{1}{2}b_1=\frac{1}{3}$、$\displaystyle b_2=\frac{1}{6}a_1+\frac{1}{4}b_1=\frac{1}{8}$。

(3) 同じ正方形上にいる生存配置からは、次の時刻に同じ正方形上へ移る確率が $1/2$、異なる正方形上へ移る確率が $1/6$、衝突する確率が $1/3$。異なる正方形上の生存配置からは、それぞれの確率が $1/2,1/4,1/4$。従って $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n,\qquad b_{n+1}=\frac{1}{6}a_n+\frac{1}{4}b_n.$$

(4) $p_n=a_n+b_n$ なので $$\displaystyle p_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+\frac{3}{4}b_n\le\frac{3}{4}(a_n+b_n)=\frac{3}{4}p_n.$$ また $p_0=1$。したがって帰納法により $p_n\le(3/4)^n$。

(1)は、Pの行先2通りとQの行先3通りの直積をすべて示します。衝突する2配置も時刻1に移動した結果としては可能なので図示し、(2)で衝突なしの確率を計算するときに除きます。その後、同じ正方形上か異なる正方形上かで次の一手を分類して漸化式を作り、$p_n$を評価します。