3京都大学 2000年 数学 第3問解答・解説

(1) $\vec c=(x,y,z)$ とおくと $x^2+y^2+z^2=1$。 $$\displaystyle \cos\alpha=x,\qquad \cos\beta=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt3}{2}y.$$ これを代入して展開すると $$\displaystyle \begin{aligned} \cos^2\alpha-\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta &=x^2-x\left(\frac x2+\frac{\sqrt3}2y\right) +\left(\frac x2+\frac{\sqrt3}2y\right)^2\\ &=\frac34(x^2+y^2)=\frac34(1-z^2)\le\frac34. \end{aligned}$$ よって示された。等号は $z=0$ のとき、かつそのときに限る。

(2) $0\le\alpha\le\pi$ なので $\sin\alpha\ge0$。 不等式を $\cos\beta$ について平方完成すると $$\displaystyle \left(\cos\beta-\frac12\cos\alpha\right)^2 \le\frac34\sin^2\alpha.$$ したがって、加法定理を用いて $$\cos(\alpha+\pi/3)\le\cos\beta\le\cos(\alpha-\pi/3).$$ $\cos\beta$ は $0\le\beta\le\pi$ で単調減少する。 右側の不等式は $\cos(\alpha-\pi/3)=\cos|\alpha-\pi/3|$ より $\beta\ge|\alpha-\pi/3|$ と同値である。 左側は $\alpha+\pi/3\le\pi$ かどうかで分け、 $$\beta\le \begin{cases} \alpha+\pi/3 &(0\le\alpha\le2\pi/3),\\ 2\pi-(\alpha+\pi/3)=5\pi/3-\alpha &(2\pi/3\le\alpha\le\pi). \end{cases}$$ ゆえに求める範囲は $$\displaystyle \boxed{|\alpha-\beta|\le\frac\pi3,\qquad \frac\pi3\le\alpha+\beta\le\frac{5\pi}3}$$ である（$0\le\alpha,\beta\le\pi$）。この領域は4頂点 $$(0,\pi/3),\quad(\pi/3,0),\quad(\pi,2\pi/3),\quad(2\pi/3,\pi)$$ を順に結ぶ長方形の内部と周で、境界をすべて含む。 各変形は同値なので、着色した領域の全点が元の不等式を満たす。