弘前大学 2002年数学第6問解答・解説

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1問題

弘前大学2002年度第6問

正の数 $a$ に対して, 曲線 $\displaystyle y = \frac{1}{x^2}$ 上の点 $\displaystyle (a, \frac{1}{a^2})$ における接線が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標を $T(a)$ と書くことにする。数列 $\{a_n\}$ を

$a _ {1} = 1, \quad a _ {n + 1} = T \left(a _ {n}\right) \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$

で定める。

3つの点 $(a_{n}, 0)$ ， $\displaystyle (a_{n}, \frac{1}{a_{n}^{2}})$ ， $(a_{n+1}, 0)$ を頂点とする三角形の面積を $S_{n}$ とするとき，無限級数 $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty} S_{n}$ の和を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{3}{4}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

曲線を $y=x^{-2}$ とおくと、 $y'=-2x^{-3}$ である。したがって $x=a$ における接線は $\displaystyle y-\frac{1}{a^2}=-\frac{2}{a^3}(x-a)$ であり、 $y=0$ とおくと $\displaystyle T(a)=\frac{3a}{2}$ を得る。よって $\displaystyle a_n=(\frac{3}{2})^{n-1}$ である。三角形の底辺は $\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{a_n}{2}$ 、高さは $\displaystyle \frac{1}{a_n^2}$ だから、 $\displaystyle S_n=\frac12\cdot\frac{a_n}{2}\cdot\frac{1}{a_n^2}=\frac{1}{4}(\frac{2}{3})^{n-1}$ 。従って $\displaystyle \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\frac14\cdot\frac{1}{1-\frac23}=\boxed{\frac34}$ 。

この問題で使う考え方

曲線の接線
漸化式
等比数列の一般項と和
無限等比級数

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