7弘前大学 2002年 数学 第7問解答・解説

・ $x$ が十分大きいとき、$$\displaystyle \sqrt{x+c}-\sqrt{x}=\frac{c}{\sqrt{x+c}+\sqrt{x}}\longrightarrow 0.$$ 和積公式より$$\displaystyle \sin\sqrt{x+c}-\sin\sqrt{x}=2\cos\frac{\sqrt{x+c}+\sqrt{x}}2\sin\frac{\sqrt{x+c}-\sqrt{x}}2.$$ 第1因子の絶対値は $1$ 以下で、第2因子は $0$ に収束するから、極限値は $0$ である。

・ $u=\sqrt{1+t}$ とおくと $dt=2u\,du$ なので、$$\displaystyle \int_1^{x^2}\frac{dt}{\sqrt{1+t}}=2\left(\sqrt{1+x^2}-\sqrt2\right).$$ よって $x\ne1$ に対して$$\displaystyle \frac{1}{x-1}\int_1^{x^2}\frac{dt}{\sqrt{1+t}}=\frac{2(\sqrt{1+x^2}-\sqrt2)}{x-1}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt2}\longrightarrow\sqrt2.$$