1京都大学 2002年 数学 第1問解答・解説

$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n a_k$ とする。$n=1$ の条件から $$-a_2=S_1=a_1=1,$$ 従って $a_2=-1,\ S_2=0$。$n=2$ の条件は $0=S_2$ であり、新たな $a_3$ の条件は与えない。

$n\ge3$ では $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ だから $$\displaystyle n(n-2)(S_{n+1}-S_n)=S_n, \qquad S_{n+1}=\frac{(n-1)^2}{n(n-2)}S_n.$$ よって $$\displaystyle S_n=S_3\prod\limits _{k=3}^{n-1}\frac{(k-1)^2}{k(k-2)} =S_3\frac{2(n-2)}{n-1}\quad(n\ge3).$$ 極限条件から $1=2S_3$、すなわち $S_3=1/2$。従って $$\displaystyle S_n=\frac{n-2}{n-1}\quad(n\ge3).$$ したがって $$\displaystyle a_1=1,\qquad a_2=-1,\qquad a_n=S_n-S_{n-1}=\frac1{(n-1)(n-2)}\quad(n\ge3).$$