6京都大学 2002年 数学 第6問解答・解説

$w=\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ$ とおき、$d_n=z_n-z_{n-1}$ とする。条件(ii)は $d_{n+1}=wd_n$ を表す。$d_1=a$ だから $$\displaystyle d_n=aw^{n-1},\qquad z_n=\sum\limits _{j=1}^{n}d_j=a\sum\limits _{k=0}^{n-1}w^k=a\frac{1-w^n}{1-w}.$$ $0<\theta<90$ より $w\ne1$ である。$a>0$ なので $$z_n=0\text{、すなわち } w^n=1\text{、すなわち } n\theta=360^\circ m\quad(m\text{ は整数}).$$ ある正整数 $n$ について $z_n=0$ となれば $\theta=360m/n$ は有理数である。逆に $\theta=p/q$ を正の有理数（$p,q$ は正整数）とすれば、$n=360q$ と選ぶと $n\theta=360p$ なので $w^n=1$、従って $z_n=0$。よって $$\boxed{\text{ある }n\ge1\text{ で }z_n=z_0\text{ となるための必要十分条件は }\theta\text{ が有理数であること}.}$$

隣り合う点の差を複素数列 $d_n$ とおくと、公転条件から $d_n$ は比 $w=\cos\theta^\circ+i\sin\theta^\circ$ の等比数列になる。位置 $z_n$ を有限等比級数で表し、$z_n=0$ を $w^n=1$、すなわち $n\theta$ が360度の整数倍となる条件に直す。必要性と十分性をそれぞれ示す。