5京都大学 2002年 数学 第5問解答・解説

$u=x+a$、$p=a^2-b$、$d=2a^3-3ab-c$ とおく。すると $$x^3+3ax^2+3bx=c\text{ は }u^3-3pu+d=0\text{ と同値である。}$$ この方程式は相異なる3つの実根 $u_1,u_2,u_3$ をもつ。解と係数の関係から $$u_1+u_2+u_3=0,\qquad u_1u_2+u_2u_3+u_3u_1=-3p.$$ よって $$u_1^2+u_2^2+u_3^2=(u_1+u_2+u_3)^2-2(u_1u_2+u_2u_3+u_3u_1)=6p>0,$$ 従って $p>0$、すなわち $a^2>b$。

任意の $i$ について、残る2根を $v,w$ とする。3根は相異なるので $v\ne w$。また $v+w=-u_i$ および $vw=u_i^2-3p$ であるから $$0<(v-w)^2=(v+w)^2-4vw=12p-3u_i^2.$$ 従って $u_i^2<4p$、つまり $-2\sqrt p<u_i<2\sqrt p$。最後に $x_i=u_i-a$、$p=a^2-b$ を戻せば $$-a-2\sqrt{a^2-b}<x_i<-a+2\sqrt{a^2-b}\qquad(i=1,2,3),$$ となる。