4京都大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$s=\sqrt{1+x^2}$ とおくと $s'=x/s$ であり、連鎖律より $$\displaystyle f'(x)=\frac{1+x/s}{x+s}=\frac{s+x}{s(x+s)}=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$

(2) 極座標 $r=\theta$ は $x=\theta\cos\theta,\ y=\theta\sin\theta\ (0\le\theta\le\pi)$ と表せる。微分すると $$x'=\cos\theta-\theta\sin\theta,\qquad y'=\sin\theta+\theta\cos\theta,$$ よって $(x')^2+(y')^2=1+\theta^2$。したがって弧長は $$\displaystyle L=\int_0^\pi\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta.$$ 部分積分と微分確認から $$\displaystyle \begin{aligned} 2\int\sqrt{1+t^2}\,dt&=t\sqrt{1+t^2}+\int\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}},\\ \int\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}&=\log(t+\sqrt{1+t^2})\quad(t\ge0). \end{aligned}$$ よって $$\displaystyle L=\frac{\pi\sqrt{1+\pi^2}+\log(\pi+\sqrt{1+\pi^2})}{2}.$$

f(x)=log(x+√(1+x²)) の導関数は1/√(1+x²)。極方程式r=θの0≦θ≦πの長さは∫√(1+θ²)dθ=[π√(1+π²)+log(π+√(1+π²))]/2。