3京都大学 2002年 数学 第3問解答・解説

整数根を $r,s$ とする。根は重複度を含めて数えるので、二つの整数根が等しい場合も含め、整数根で二度因数分解できる。したがって $$f(x)=(x-r)(x-s)(x^2+px+q),\qquad p,q\text{ は整数}.$$ 残る二根は非実数で、実係数二次式の共役な組だから $q>0$。定数項を比較すると $$rsq=1.$$ $q$ は正整数、$r,s$ は整数なので $q=1,\ rs=1$。よって $(r,s)=(1,1)$ または $(-1,-1)$。また二次式の判別式は負であるから $$p^2-4<0,\qquad p\text{ は整数},$$ すなわち $p=-1,0,1$。

$r=s=1$ の場合、 $$(x-1)^2(x^2+px+1) =x^4+(p-2)x^3+(2-2p)x^2+(p-2)x+1,$$ したがって $(a,b,c)=(p-2,2-2p,p-2)$。$p=-1,0,1$ を代入すると $$(-3,4,-3),\quad(-2,2,-2),\quad(-1,0,-1)$$ を得る。

$r=s=-1$ の場合、 $$(x+1)^2(x^2+px+1) =x^4+(p+2)x^3+(2+2p)x^2+(p+2)x+1,$$ したがって $(a,b,c)=(p+2,2+2p,p+2)$。同じ三つの $p$ から $$(1,0,1),\quad(2,2,2),\quad(3,4,3)$$ を得る。いずれの $p$ でも二次式の判別式 $p^2-4$ は $-3$ または $-4$ なので、残り二根は非実数である。よって以上の六組は全て条件を満たし、他にない。

整数根を二つ因数として取り出し、残る二根が非実数共役対となる二次式を考える。定数項で整数根と二次式を限定し、判別式から二次式係数を絞り、展開して全候補を得た。最後に判別式で各候補が条件を満たすことを確かめる。