5岐阜大学 2009年 数学 第5問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AB}=(1,0,2)$, $\overrightarrow{AC}=(2,1,0)$ であり、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2$、$|AB|=|AC|=\sqrt5$。ゆえに $$\displaystyle \cos\theta=\frac25.$$ $0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$ より $\sin\theta\geq0$ なので $$\displaystyle \boxed{\sin\theta=\sqrt{1-(2/5)^2}=\frac{\sqrt{21}}5}.$$

(2) $H=A+s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ とおく。$D-H$ は $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の両方に垂直だから $$(D-H)\cdot\overrightarrow{AB}=0,\qquad (D-H)\cdot\overrightarrow{AC}=0.$$ $D-A=(1,6,-1)$、$AB\cdot AB=AC\cdot AC=5$、$AB\cdot AC=2$ を使うと $$5s+2t=-1,\qquad 2s+5t=8.$$ よって $s=-1,t=2$、したがって $$\boxed{H=A-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(4,3,0)}.$$

(3) $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ に垂直な $n=(u,v,w)$ を内積条件から求めると $$u+2w=0,\qquad 2u+v=0.$$ $w=1$ と選べば $n=(-2,4,1)$。従って平面 $ABC$ は $$n\cdot(X-A)=0,\quad\text{すなわち}\quad -2x+4y+z=4.$$ 左辺の値は $ABC$ 上で4、$D$ で25、$E$ で13。ゆえに平面 $\alpha$ は底面から $D$ に向かって $$\displaystyle \frac{13-4}{25-4}=\frac37$$ の位置にあり、底面と相似な断面の辺の倍率は $1-3/7=4/7$。また $$\displaystyle [ABC]=\frac12|AB||AC|\sin\theta=\frac12\cdot\sqrt5\cdot\sqrt5\cdot\frac{\sqrt{21}}5=\frac{\sqrt{21}}2.$$ したがって $$\displaystyle \text{切り口の面積}=\left(\frac47\right)^2[ABC]=\boxed{\frac{8\sqrt{21}}{49}}.$$

(1) $\overrightarrow{AB}$=(1,0,2), $\overrightarrow{AC}$=(2,1,0)。内積は2で、両ベクトルの長さは$\sqrt5$。したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{2}{5}.$$ また0^$\circ$$\leq$$\theta$$\leq$180^$\circ$より$\sin$$\theta$$\geq$0なので、$\sin$$\theta$=$\sqrt{1-(2/5)^2}$=$\sqrt{21}$/5。

(2) 垂足をH=A+s$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AC}$とおく。D-HがABとACの両方に垂直である条件を内積で表すと $$(D-H)\cdot\overrightarrow{AB}=0,\qquad(D-H)\cdot\overrightarrow{AC}=0.$$ ここで$D-A=(1,6,-1)$、AB$\cdot$ AB=AC$\cdot$ AC=5、AB$\cdot$ AC=2だから $$5s+2t=-1,\qquad2s+5t=8.$$ これを解くと$(s,t)=(-1,2)$。よって $$H=A-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(4,3,0).$$

(3) AB,ACの両方に垂直なベクトルn=(u,v,w)を内積条件で作る。u+2w=0, 2u+v=0だから、w=1とおけば$n=(-2,4,1)$。平面ABC上の点Xはn$\cdot$(X-A)=0を満たすので $$-2x+4y+z=4.$$ この左辺はDで25、Eで13、底面ABC上で4である。したがってEを通る平行平面は底面からDへ向かって$\displaystyle \frac{13-4}{25-4}=\frac37$の位置にある。断面は底面ABCと相似で、Dから測った辺の倍率は$\displaystyle 1-\frac37=\frac47$。

底面積は(1)より $$\displaystyle [ABC]=\frac12|AB||AC|\sin\theta=\frac12\cdot\sqrt5\cdot\sqrt5\cdot\frac{\sqrt{21}}5=\frac{\sqrt{21}}2.$$ よって断面積は $$\displaystyle \left(\frac47\right)^2[ABC]=\boxed{\frac{8\sqrt{21}}{49}}.$$