4広島大学 2013年 数学 第4問解答・解説

$M$ は $AB$ の中点であり、$OM\perp AB$ である。$OA=1$ だから $$\displaystyle |AB|=2\sin\frac\theta2,\qquad |OM|=\cos\frac\theta2.$$ また $C,O,M$ はこの順に一直線上にあるので、$C$ から $AB$ までの距離は $|CM|=(t+1)\cos(\theta/2)$ である。従って $$\displaystyle S=\frac12|AB||CM|=\frac{t+1}{2}\sin\theta.$$ (2) $|OC|=t|OM|=t\cos(\theta/2)=1$ より $\cos(\theta/2)=1/t$。角の範囲から正の平方根を取り、 $$\displaystyle \sin\frac\theta2=\frac{\sqrt{t^2-1}}t,\qquad S=(t+1)\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2=\frac{(t+1)\sqrt{t^2-1}}{t^2}.$$ (3) $u=1/t$ とおくと $0<u<1$ で $$\displaystyle S^2=(1+u)^3(1-u),\qquad \frac{d}{du}S^2=2(1+u)^2(1-2u).$$ 従って $S^2$ は $u=1/2$ まで増加し、その後減少する（端点極限も最大値より小さい）。$S>0$ だから $S$ も $u=1/2$、すなわち $t=2$ で最大となる。