1琉球大学 2017年 数学 第1問解答・解説

問1は $$\displaystyle \int_1^2\left(1-\frac1x\right)\,dx =\left[x-\log x\right]_1^2 =1-\log2.$$

問2では $u=\sqrt t>0$ とおくと、点は $(u,2\log u)$ である。直線 $y=x$ までの距離は $$\displaystyle \frac{|u-2\log u|}{\sqrt2}.$$ $h(u)=u-2\log u$ とおけば $\displaystyle h'(u)=1-\frac2u$ なので、$h$ は $0<u<2$ で減少し、$u>2$ で増加する。従って最小値は $u=2$ であり、$h(2)=2-2\log2>0$（$\log2<1$）。よって距離も $u=2$ で最小になり、$t=u^2=4$。その距離は $$\displaystyle \frac{2-2\log2}{\sqrt2}=\sqrt2(1-\log2).$$

問1は原始関数 $x-\log x$ を $1$ と $2$ で評価して $1-\log2$ を得る。問2では $u=\sqrt t>0$ と置くと点は $(u,2\log u)$、距離は $|u-2\log u|/\sqrt2$ となる。関数 $h(u)=u-2\log u$ は $h'(u)=1-2/u$ により $u=2$ で最小となり、その最小値 $2-2\log2$ は正である。したがって最小距離は $t=4$ で生じ、値は $\sqrt2(1-\log2)$。