4神戸大学 2001年 数学 第4問解答・解説

(1) 微分すると $$\displaystyle f'(x)=\frac{1/2-\log x}{x^2},\qquad f''(x)=\frac{2(\log x-1)}{x^3}.$$ 従って$0<x<\sqrt e$で増加、$x>\sqrt e$で減少する。$x=\sqrt e$で極大値$\boxed{1+1/\sqrt e}$をとり、極小値はない。 また$0<x<e$で$f''<0$、$x>e$で$f''>0$なので、変曲点は $$\displaystyle \boxed{\left(e,1+\frac3{2e}\right)}.$$ $x\to0+$で$f(x)\to-\infty$、$x\to\infty$で$f(x)\to1$である。後者には上側から近づく。従って縦の漸近線$x=0$、横の漸近線$y=1$を持ち、上記の極大点・変曲点を通る概形となる。 (2) $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1/e}^e f(x)\,dx &=\left[x+\frac12\log x+\frac12(\log x)^2\right]_{1/e}^e\\ &=\boxed{e-e^{-1}+1}. \end{aligned}$$