1神戸大学 2001年 数学 第1問解答・解説

解説

まず行列式を計算すると $(k-2)^2$ なので、逆行列を持たないのは $k=2$ だけです。それ以外では余因子による逆行列を $B$ に掛ければ、$p,q,r,s$ が得られます。

$k=2$ のときは $A$ の2行に従属関係があります。したがって積 $AX$ の2行も同じ関係を持たなければなりません。右辺 $B$ についてこの条件を列ごとに課すと $a=-2$、$b=-1/2$ です。逆に、この条件では各列について第2式が第1式の定数倍になるため、第1式を満たす未知数を選べば解が存在します。

逆行列判定を成分で補足する。$C=\begin{pmatrix}k-4&-4\\1&k\end{pmatrix}$ とすると、直接乗算により $$AC=CA=\begin{pmatrix}(k-2)^2&0\\0&(k-2)^2\end{pmatrix}.$$ 従って $k\ne2$ なら $C/(k-2)^2$ が両側の逆行列である。$k=2$ なら $AX$ の第2行は第1行の $-1/2$ 倍なので、単位行列にはなり得ず逆行列は存在しない。 (3) の十分性も具体的には、$a=-2,b=-1/2$ のとき $r=s=0,p=-1,q=1/2$ とすれば $AX=B$ となる。