5神戸大学 2001年 数学 第5問解答・解説

球を一時的に区別し、6個の球の順列 $6!=720$ 通りを等確率とみなす。順列の先頭からAの規則に従って必要な球を読み、続きからBの規則に従う。操作終了後の未使用球の並びは得点に影響しないが、全順列を同じ分母で数えるために含める。

各得点の組を数えると次表になる。例えば $(A,B)=(2,2)$ は、Aが最初に赤を引く場合の寄与が $$\displaystyle \frac26\left(\frac15+\frac35\frac24\right)=\frac16,$$ Aが白を続けて2個引く場合の寄与が $$\displaystyle \frac36\frac25\frac24=\frac1{10}.$$ 従ってこの表の該当欄は $\displaystyle 720(\frac16+\frac1{10})=192$ 通り。同じ方法で他の欄も数えた。 $$\begin{array}{c|rrrr|r} \text{A得点}\backslash\text{B得点}&2&3&4&5&\text{計}\\ \hline 2&192&60&96&36&384\\ 3&60&24&48&12&144\\ 4&96&48&0&0&144\\ 5&36&12&0&0&48\\ \hline \text{計}&384&144&144&48&720 \end{array}$$ 同点の欄は $192+24=216$ 通りなので $$\displaystyle p_1=\frac{216}{720}=\frac3{10}.$$ Aの得点がBより大きい欄は $60+96+48+36+12=252$ 通りだから $$\displaystyle p_2=\frac{252}{720}=\frac7{20}.$$

球に仮の区別を付けた $720$ 通りの順列で、AとBが規則に従って止まる位置まで読み、得点の組を数える。同点欄の合計は $216$、A>Bの欄の合計は $252$ なので、確率はそれぞれ $\displaystyle \frac3{10}$、$\displaystyle \frac7{20}$。