10千葉大学 2001年 数学 第10問解答・解説

[ア](1) $x,y$ を実数として $z=x+iy$ とおくと， $$1-\overline z=1-x+iy,\qquad (a+i)(z-\overline z)=(a+i)2iy=-2y+2aiy.$$ よって実部・虚部の比較から $$x-2y=1,\qquad (1-2a)y=0.$$ $\displaystyle a=\frac12$なら第2式は常に成立し，解集合は直線$x-2y=1$である。$\displaystyle a\ne\frac12$なら$y=0,x=1$となり一点だけである。したがって$\displaystyle a=\frac12$。

[ア](2) 円の中心$\beta$は$0,1$から等距離なので$\beta+\overline\beta=1$である。また$0,\alpha$から等距離より $$|\beta|^2=|\beta-\alpha|^2 \quad\text{より}\quad \beta\overline\alpha+\alpha\overline\beta=\alpha\overline\alpha.$$ $\overline\beta=1-\beta$を代入すると $$\beta(\overline\alpha-\alpha)=\alpha(\overline\alpha-1).$$ $\alpha$は実軸上にないから$\overline\alpha-\alpha\ne0$であり， $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\beta=\frac{\alpha(\overline\alpha-1)}{\overline\alpha-\alpha}}.$$

[ア](3) (1)の直線上の点を$\alpha=x+iy$とすると$x-2y=1$より $\alpha=1+(2+i)t$（$t$ は実数）と書ける。(2)より $$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} =\frac{\overline\alpha-1}{\overline\alpha-\alpha} =\frac{(2-i)t}{-2it} =\frac12+i.$$ ここで$\alpha$は実軸上にないので$t\ne0$である。よって比は一定である。

[イ](1) 各回の2-1実行直前の値と、その回の商・余りは次のとおり。 $$\begin{array}{c|r|r|r|r|r} \text{回}&n&m&q\ (\text{直前})&\text{商 }q&\text{余り }r\\ \hline 1&95&35&0&2&25\\ 2&35&25&2&1&10\\ 3&25&10&1&2&5\\ 4&10&5&2&2&0 \end{array}$$ 最後は$n=5,m=0,q=2$となるので，手順3の出力は$\boxed{5}$。

[イ](2) 2-1で商$q=z$，余りを$x_0$とし，2-2の後に$m=x_0$となる。したがって $$x_2=zx_1+x_0,\qquad\boxed{x_2=zx_1+x_0}.$$

[イ](3) $x=693,y=490$を選ぶ。どちらも200以上であり，計算表は $$\begin{array}{c|r|r|r|r|r} \text{回}&n&m&q\ (\text{直前})&\text{商 }q&\text{余り }r\\ \hline 1&693&490&0&1&203\\ 2&490&203&1&2&84\\ 3&203&84&2&2&35\\ 4&84&35&2&2&14\\ 5&35&14&2&2&7\\ 6&14&7&2&2&0 \end{array}$$ 各商は2以下で，終了時は$n=7,m=0,q=2$だから出力は$\boxed{7}$。

[ウ](1) 試合数が$4,5,6,7$となる確率を数える。4試合なら一方が4連勝する。5試合なら勝者が最初の4試合で3勝し，最後に勝つ。6試合なら最初の5試合で勝者が3勝・敗者が2勝し，最後に勝つ。7試合なら最初の6試合が3勝ずつに分かれ，最後にどちらかが勝つ。各試合の確率は$1/2$なので $$\displaystyle \begin{aligned} \Pr(X=4)&=\frac{2}{2^4}=\frac18,\\ \Pr(X=5)&=\frac{2\binom43}{2^5}=\frac14,\\ \Pr(X=6)&=\frac{2\binom53}{2^6}=\frac5{16},\\ \Pr(X=7)&=\frac{2\binom63}{2^7}=\frac5{16}. \end{aligned}$$ これが$X$の確率分布である。

[ウ](2) Aが先に$n$勝するには，最後の1試合でAが$n$勝目を挙げ，それ以前にAが$n-1$勝，Bが$k$勝（$0\le k\le n-1$）している。よって $$\displaystyle P(n)=\sum\limits _{k=0}^{n-1}\binom{n+k-1}{k}p^nq^k.$$ したがって $$P(3)=p^3(1+3q+6q^2),\qquad P(4)=p^4(1+4q+10q^2+20q^3).$$ $q=1-p$を用いて差を整理すると $$P(4)-P(3) =p^3\left[p(1+4q+10q^2+20q^3)-(1+3q+6q^2)\right] =10p^3q^3(p-q).$$ $p,q>0$かつ$p+q=1$より，$\displaystyle p>\frac12$なら$P(4)>P(3)$，$\displaystyle p<\frac12$なら$P(4)<P(3)$，$\displaystyle p=\frac12$なら等しい。