3千葉大学 2001年 数学 第3問解答・解説

$q(x)=f'(x)=3x^2+2ax+2b$ とおく。三次関数が$0<x<2$ の範囲内で極大・極小をともにもつには、$q$ が相異なる二根 $r_1,r_2$ をもち、$0<r_1<r_2<2$ でなければならない。逆にこの条件なら、$q$ の符号は根の間で負、外側で正となるため、二根で極大・極小をもつ。

解と係数の関係から $$\displaystyle r_1+r_2=-\frac{2a}{3},\qquad r_1r_2=\frac{2b}{3}.$$ 従って $0<r_1+r_2<4$ より $-6<a<0$、また $r_1r_2>0$ より $b>0$。整数条件から $a=-5,-4,-3,-2,-1$ のいずれか、$b\ge1$。二根が相異なるため判別式が正であり、 $$\Delta=(2a)^2-4\cdot3\cdot2b=4(a^2-6b)>0, \quad\text{すなわち }6b<a^2.$$ さらに $2>r_2$ なので $q(2)=3(2-r_1)(2-r_2)>0$。従って $$12+4a+2b>0,\qquad b>-6-2a.$$ これらを整数 $a,b$ について調べると、$a=-1,-2$ では $6b<a^2$ を満たす正整数bがなく、$a=-4$ では $b>2$ と $6b<16$ が両立せず、$a=-5$ では $b>4$ と $6b<25$ が両立しない。$a=-3$ では $b>0$、$6b<9$ より $b=1$ のみ。

実際 $(a,b)=(-3,1)$ のとき $$\displaystyle f'(x)=3x^2-6x+2=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x=1\pm\frac{\sqrt3}{3},$$ で、二根はいずれも $0<x<2$ の範囲内にあり、導関数の符号は $+,-,+$ と変わる。よって極大値・極小値をともにもつ条件を満たし、求める組は $$(a,b)=(-3,1)$$ である。