I慶應義塾大学 2006年 数学 第I問解答・解説

(1) 式を $$\displaystyle \frac{(x-p)^2}{2^2}+\frac{(y-q)^2}{1^2}=1$$ と書けば，長半径は $2$，短半径は $1$ である。したがって焦点は $$(p-\sqrt{2^2-1^2},q)=(p-\sqrt3,q),\qquad (p+\sqrt3,q)$$ である。

直線 $y=x$ を楕円の式に代入すると $$(x-p)^2+4(x-q)^2=4$$ となる。これが $x$ の重解をもつ条件（判別式が $0$）は $$(2p+8q)^2-20(p^2+4q^2-4)=0, \qquad (p-q)^2=5$$ である。同様に，$y=-x$ を代入した二次方程式の判別式が $0$ となる条件は $$(-2p+8q)^2-20(p^2+4q^2-4)=0, \qquad (p+q)^2=5$$ である。二つの条件から $(p-q)^2=(p+q)^2$，よって $pq=0$。$p>0$ だから $q=0$，さらに $p^2=5$ より $p=\sqrt5$ である。

(2) 方程式の定数項は $1$ なので $x=0$ は解でない。そこで $$\displaystyle h(x)=x^2+\frac1x$$ とおけば，方程式は $h(x)=3c$ と同値である。$x<0$ では $$\displaystyle h'(x)=2x-\frac1{x^2}<0.$$ また $x\to-\infty$ で $h(x)\to+\infty$，$x\to0-$ で $h(x)\to-\infty$ だから，負の解は任意の実数 $c$ に対してちょうど一つ存在する。

$x>0$ では $$\displaystyle h'(x)=\frac{2x^3-1}{x^2}$$ である。したがって $h$ は $x=2^{-1/3}$ まで減少し，その後増加する。最小値は $$h(2^{-1/3})=2^{-2/3}+2^{1/3}=3\cdot2^{-2/3}.$$ よって正の解は，$3c<3\cdot2^{-2/3}$ のとき存在せず，等号のとき重解一つ，$3c>3\cdot2^{-2/3}$ のとき二つ存在する。負の解は常に一つあるから，方程式がただ一つの実数解をもつ必要十分条件は $$c<c_0,\qquad c_0=2^{-2/3}$$ である。

そのとき唯一の実数解 $a$ は負である。$h$ は負の範囲で減少し， $$h(-2^{2/3})=3\cdot2^{-2/3}>3c=h(a)$$ なので $a>-2^{2/3}$。したがって $-2^{2/3}<a<0$ である。

虚数解を $\alpha+\beta i,\alpha-\beta i$ とすると，解と係数の関係から $$a(\alpha+\beta i)(\alpha-\beta i) =a(\alpha^2+\beta^2)=-1.$$ よって $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=\sqrt{-1/a}$ である。さらに $0<c<c_0$ なら $h(a)=3c>0$ である。$a<0$ より $$\displaystyle \frac{a^3+1}{a}>0\quad\text{したがって}\quad a^3+1<0 \quad\text{したがって}\quad a<-1.$$ 従って $-2^{2/3}<a<-1$ となり， $$\displaystyle 2^{-2/3}<-\frac1a<1,\qquad 2^{-1/3}<\sqrt{-\frac1a}<1.$$