II慶應義塾大学 2006年 数学 第II問解答・解説

操作後の状態を、(P) 3つの頂点に球が1個ずつある状態、(Q) 白球2個が同じ頂点にあり黒球が別の頂点にある状態、(R) 白球1個と黒球1個が別々の頂点にある状態、(B) 黒球1個だけの状態に分ける。1回の操作で起こる状態の遷移確率は $$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} & P&Q&R&B\\ \hline P&\frac14&\frac14&\frac12&0\\ Q&\frac12&0&\frac12&0\\ R&0&0&\frac34&\frac14 \end{array}$$ である。例えばPでは3球がそれぞれ別の頂点へ移る2通りがP、白球どうしが同じ頂点へ移る2通りがQ、黒球と一方の白球が同じ頂点へ移る4通りがRとなり、全8通りは等確率である。Qでは黒球が空いた頂点へ移ればP、白球のいる頂点へ移れば白球を1個取り除いてRとなる。Rでは4通りのうち3通りで2球が別々の頂点に移り、1通りで同じ空き頂点に移る。

初回の8通りを数えると、Pが2通り、Qが2通り、Rが4通りだから $$\displaystyle p_1=\frac14,\qquad q_1=\frac14,\qquad r_1=\frac12.$$ 遷移表より $$\displaystyle p_{n+1}=\frac14p_n+\frac12q_n,\qquad q_{n+1}=\frac14p_n.$$ したがって $$\displaystyle p_{n+1}+q_{n+1}=\frac12(p_n+q_n).$$ $p_1+q_1=1/2$ なので、すべての自然数 $n$ について $$\displaystyle p_n+q_n=\frac1{2^n}.$$

また $n\ge2$ では $q_n=p_{n-1}/4$ であるから $$\displaystyle p_n+\frac14p_{n-1}=\frac1{2^n}.$$ この漸化式の解は $$\displaystyle p_n=\frac1{3\cdot2^{n-1}}-\frac1{12}\left(-\frac14\right)^{n-1}.$$ よって $m\ge1$ に対して $$\displaystyle p_{2m-1}=\frac1{3\cdot4^{m-1}}-\frac1{12\cdot16^{m-1}},\qquad p_{2m}=\frac1{6\cdot4^{m-1}}+\frac1{48\cdot16^{m-1}}.$$

遷移表より $$\displaystyle r_{n+1}=\frac12p_n+\frac12q_n+\frac34r_n =\frac1{2^{n+1}}+\frac34r_n,\qquad r_1=\frac12.$$ この漸化式を解くと $$\displaystyle r_n=\frac32\left(\frac34\right)^{n-1}-\frac1{2^{n-1}}.$$