千葉大学／2001年度

千葉大学 2001年数学第9問解答・解説

いろいろな式平面上の曲線と複素数平面数学と人間の活動（整数）

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1問題

千葉大学2001年度第9問

- [ア] i を虚数単位とし, 複素数 z に共役な複素数を $\bar{z}$ で表す。

(1) $a$ を実数の定数とする。条件

$1 - \overline {{z}} = (a + i) (z - \overline {{z}})$

を満たす複素数平面上の点 z の全体が直線であるとき, a の値を求めよ。

(2) 実軸上にない複素数 $\alpha$ に対して, 3 点 0, 1, $\alpha$ を通る複素数平面上の円の中心を $\beta$ とする。このとき, $\beta$ を $\alpha$ と $\overline{\alpha}$ を用いて表せ。

(3) α, β を (2) の複素数とする。点 α が (1) の直線上を動くとき, $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}$ は一定であることを証明せよ。

9 - [イ] 正の整数 x と y が与えられたとき，以下の手順による計算を行う。

1. $\mathrm{n}\leftarrow x$ , $\mathrm{m}\leftarrow y$ , $\mathrm{q}\leftarrow 0$

2. m > 0 かつ q ≦ 2 を満たしている限り, 次の計算を繰り返し実行する。ただし, n を m で割った商を n div m, 余りを n mod m で表す。

2-1. q $\leftarrow$ n div m, r $\leftarrow$ n mod m

2-2. n $\leftarrow$ m, m $\leftarrow$ r

3. q > 2 ならば 0 を，そうでなければ n の値を出力する。

この手順に関して，以下の問いに答えよ。

(1) x を 95, y を 35 としたとき, 手順 2 の各繰り返しにおいて 2-1 を実行する直前での変数 n, m, q の値の変化を示す表を作成し, 手順 3 で出力される数を示せ。

(2) 変数 n, m の値をそれぞれ $x_{2}$ , $x_{1}$ とし, その状態で 2-1 と 2-2 を続けて実行したところ, 変数 m, q の値がそれぞれ $x_{0}$ , z になったとする。このとき, $x_{2}$ を $x_{1}$ , $x_{0}$ , z を使って表せ。

(3) x と y の両方が 200 以上でかつ出力が 7 になるような x と y を 1 組あげ, その組について (1) と同様の表を作成せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

【ア】（1） $z=x+iy$ とおくと、与式の実部・虚部は $1-x=-2y,\qquad y=2ay.$ 解集合が直線全体となるのは任意のyが許される場合、つまり $\displaystyle a=\frac12$ のとき。その際 $x=1+2y$ 。 $\displaystyle a\ne\frac12$ では $y=0$ 、 $x=1$ の一点だけである。

（2）円の中心βは0と1から等距離なので $\beta+\bar\beta=1$ 。また0とαから等距離より $\beta\bar\alpha+\alpha\bar\beta=\alpha\bar\alpha$ 。 $\bar\beta=1-\beta$ を代入し、αは非実数なので分母が0でないことから $\displaystyle \beta=\frac{\alpha(\bar\alpha-1)}{\bar\alpha-\alpha}.$

（3）αが（1）の直線上にあるので $\alpha=1+2y+iy$ 、y≠0。従って $\displaystyle \frac\beta\alpha=\frac{\bar\alpha-1}{\bar\alpha-\alpha} =\frac{y(2-i)}{-2iy}=\frac12+i,$ 一定である。

【イ】手順は、初期値 $(n,m,q)=(x,y,0)$ から、 $m>0$ かつ $q\leq2$ の間、 $q=n\operatorname{div}m$ 、 $r=n\operatorname{mod}m$ を計算して $(n,m)$ を $(m,r)$ へ更新する。終了後 $q>2$ なら0、そうでなければnを出力する。

（1）(x,y)=(95,35)では各反復直前の値と商・余りは $\begin{array}{c|c|c|c} 回&(n,m,q)&(n\operatorname{div}m,n\operatorname{mod}m)&更新後(n,m,q)\\\hline 1&(95,35,0)&(2,25)&(35,25,2)\\ 2&(35,25,2)&(1,10)&(25,10,1)\\ 3&(25,10,1)&(2,5)&(10,5,2)\\ 4&(10,5,2)&(2,0)&(5,0,2) \end{array}$ よってm=0で終了、q=2なので出力は5。

（2）手順2-1の直前が $(n,m)=(x_2,x_1)$ で、商z、余り $x_0$ なら、除法の等式より $x_2=zx_1+x_0$ 。

（3）x=385,y=238とする。反復の商列は1,1,1,1,1,1,1,2、余り列は147,91,56,35,21,14,7,0。状態は最後に $(n,m,q)=(7,0,2)$ となり出力7。両入力は200以上である。

この問題で使う考え方

実部・虚部比較
円の中心と垂直二等分線
商と余りの反復表

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