4名古屋大学 2001年 数学 第4問解答・解説

原文の選択指示に従い④(a)を解く。6乗根を $1,\omega,\omega^2,-1,\omega^4,\omega^5$ とし、各根の出現回数を順に $u,b,c,d,e,f$ とする。(1)の条件は $u\ge1,d=0$。根の和が0になる実部・虚部条件は $$b+c=e+f,\qquad 2u+b-c-e+f=0.$$ 第1式から $e=b+c-f$。これを第2式に代入すると $c=u+f\ge1$、また $e=u+b\ge1$。従って $\displaystyle \omega^2=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ と $\displaystyle \omega^4=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ はともに列に含まれる。

(2) $n=6$ なら $$u+b+c+e+f=6.$$ 上の関係を代入すると $3u+2b+2f=6$。左辺の偶奇からuは偶数で、$u\ge1$ より $u=2$、さらに $b=f=0$。従って $c=e=2$。6項の並べ方は $$\displaystyle \frac{6!}{2!2!2!}=90.$$