名古屋大学 2001年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数微分法

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1問題

名古屋大学2001年度第1問

e を自然対数の底とする。e ≦ p < q のとき，不等式 log(log q) − log(log p) < (q − p)/e が成り立つことを証明せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$e\le p<q$ ならば $\displaystyle \log(\log q)-\log(\log p)<\frac{q-p}{e}$ が成り立つ。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$F(x)=\log(\log x)$ とおく。p≧e>1より、Fはp≦x≦qの範囲で定義され微分可能で、 $\displaystyle F'(x)=\frac{1}{x\log x}$ 。平均値の定理から p<c<q となる c があり、 $\displaystyle F(q)-F(p)=\frac{q-p}{c\log c}$ 。

この問題で使う考え方

合成関数log(log x)の微分
平均値の定理
導関数を範囲評価して不等式を証明

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