名古屋大学 2001年数学第2問解答・解説

数と式三角関数積分法

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1問題

名古屋大学2001年度第2問

閉区間 [0, 2π] 上で定義された x の関数 f(x) = ∫₀^π sin(|t − x| + π/4) dt の最大値および最小値とそのときの x の値をそれぞれ求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

最大値は $2\sqrt2$ で、そのとき $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ 。最小値は $-2$ で、そのとき $\displaystyle x=\frac{7\pi}{4}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$0\le x\le\pi$ では $t=x$ で積分を分けると $\displaystyle f(x)=\int_0^x\sin(x-t+\pi/4)dt+\int_x^\pi\sin(t-x+\pi/4)dt=\sqrt2(1+\sin x).$ $\pi\le x\le2\pi$ では常に $t\le x$ なので $\displaystyle f(x)=\int_0^\pi\sin(x-t+\pi/4)dt=-2\cos(x+\pi/4).$ 前半は最大 $2\sqrt2$ を $x=\pi/2$ でとり、最小は $\sqrt2$ 。後半は $-2\le f(x)\le2$ で、 $x=7\pi/4$ で $-2$ をとる。よって全体の最大は $2\sqrt2$ （ $x=\pi/2$ ）、最小は $-2$ （ $x=7\pi/4$ ）である。

この問題で使う考え方

場合分け
最大最小

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