4山口大学 2001年 数学 第4問解答・解説

積分区間 $0\le x\le1$ と $t$ の位置関係で，絶対値を外す。 $$\displaystyle F(t)=\begin{cases}\displaystyle\int_0^1x(x-t)\,dx=\frac13-\frac t2&(-\frac12\le t\le0),\\[3pt]\displaystyle\int_0^tx(t-x)\,dx+\int_t^1x(x-t)\,dx=\frac{t^3}3-\frac t2+\frac13&(0\le t\le1),\\[3pt]\displaystyle\int_0^1x(t-x)\,dx=\frac t2-\frac13&(1\le t\le2).\end{cases}$$ 第1区間では減少，第3区間では増加する。第2区間では $F'(t)=t^2-1/2$ だから，$0<t<1/\sqrt2$ では減少，$1/\sqrt2<t<1$ では増加する。各式は $t=0,1$ で一致するので，全体として $t=1/\sqrt2$ まで減少し，その後は増加する。

したがって最小値は $$\displaystyle F(1/\sqrt2)=\frac13-\frac1{3\sqrt2}=\frac{2-\sqrt2}{6}.$$ 最大値は両端を比較すればよい。$F(-1/2)=7/12$，$F(2)=2/3$ より，最大値は $2/3$（$t=2$）である。