1鹿児島大学 2017年 数学 第1問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1)(a),(b) 数学I「数と式・絶対値」：絶対値の中身の符号で場合分けし、折れ線の形と不等式の解を求める。テーマは絶対値関数のグラフと二重絶対値不等式。

(2) 数学I「数と式・不等式」：正の分母を用いて平方差に因数分解する。テーマは平方根を含む厳密不等式。

(3) 数学II「積分」：積分値を定数として置いて連立一次方程式を解く。テーマは積分を含む関数方程式。

(1)(a) 絶対値の定義より $$f(x)=|x-1|-2= \begin{cases} -x-1,&x\le1,\\ x-3,&x\ge1. \end{cases}$$ 従ってグラフは頂点 $(1,-2)$ をもち、$x\le1$ では傾き $-1$、$x\ge1$ では傾き $1$ の折れ線である。$x$ 軸との交点は $(-1,0)$ と $(3,0)$ なので、これらを通るV字のグラフを描けばよい。

(1)(b) $u=|x-1|$ とおくと $u\ge0$ で、 $$|f(x)|>1\quad\text{すなわち}\quad |u-2|>1 \quad\text{すなわち}\quad u<1\ \text{または}\ u>3.$$ すなわち $|x-1|<1$ または $|x-1|>3$ だから $$0<x<2\quad\text{または}\quad x<-2\ \text{または}\ x>4.$$

(2) $\alpha>\sqrt2>0$ より分母 $2\alpha$ は正である。また $$\displaystyle \frac{\alpha}{2}+\frac1\alpha-\sqrt2 =\frac{(\alpha-\sqrt2)^2}{2\alpha}>0$$ である。さらに $$\displaystyle \alpha-\left(\frac{\alpha}{2}+\frac1\alpha\right) =\frac{\alpha^2-2}{2\alpha}>0,$$ ここで $\alpha^2>2$ を用いた。よって $$\displaystyle \sqrt2<\frac{\alpha}{2}+\frac1\alpha<\alpha.$$

(3) $\displaystyle A=\int_{-1}^{0}f(t)\,dt$、$\displaystyle B=\int_{0}^{1}f(t)\,dt$ とおくと、与式は $$f(x)=2x^2-3Ax-B$$ となる。これを積分区間ごとに積分すると $$\displaystyle A=\frac23+\frac32A-B,\qquad B=\frac23-\frac32A-B,$$ すなわち $$\displaystyle -\frac12A+B=\frac23,\qquad \frac32A+2B=\frac23.$$ 連立して $$\displaystyle A=-\frac4{15},\qquad B=\frac8{15}.$$ 従って $$\displaystyle f(x)=2x^2+\frac45x-\frac8{15}.$$ 実際、この式を $-1\leq x\leq0$、$0\leq x\leq1$ の範囲で積分すると、それぞれ $\displaystyle -\frac4{15}$、$\displaystyle \frac8{15}$ となるため、定めた $A,B$ と一致する。連立方程式の解が一意なので、これが求める関数である。