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鹿児島大学／2017年度／前期

鹿児島大学 2017年 数学 第2問解答・解説

二次関数三角関数

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1問題

鹿児島大学2017年度第2問

関数 y=cos⁡2θ−asin⁡θ+2(0≦θ<2π)y=\cos 2\theta-a\sin\theta+2\quad (0\leq\theta<2\pi) について、次の各問いに答えよ。ただし、aa は正の定数とする。

(1) t=sin⁡θt=\sin\theta とするとき、yy を tt を用いて表せ。

(2) yy の最大値 MM と最小値 mm を、それぞれ aa を用いて表せ。また、そのときの tt の値も求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

二倍角の公式でyをtの二次関数に直し、tの値域−1≦t≦1で平方完成と端点との差の因数分解を用いて最大値・最小値を決定した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)y=3−2t2−at,−1≦t≦1;(1)\quad y=3-2t^2-at,\quad -1\le t\le1;
    (2){M=3+a28, t=−a4(0<a≦4),M=a+1, t=−1(a>4),m=1−a,t=1 (a>0).\displaystyle (2)\quad \begin{cases}M=3+\dfrac{a^2}{8},\space{}t=-\dfrac a4 &(0<a\le4),\\ M=a+1,\space{}t=-1 &(a>4),\end{cases}\qquad m=1-a,\quad t=1\space{}(a>0).

4解答

解答を見る途中式つきの解答

（1）二倍角の公式より、cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta である。t=sin⁡θt=\sin\theta とおくと、−1≦t≦1-1\le t\le1 であり、 y=1−2t2−at+2=3−2t2−at.y=1-2t^2-at+2=3-2t^2-at.

（2）平方完成すると y=−2(t+a4)2+3+a28.\displaystyle y=-2\left(t+\frac a4\right)^2+3+\frac{a^2}{8}. 0<a≦40<a\le4 のとき、−1≦−a/4<0-1\le-a/4<0 なので頂点の t=−a/4t=-a/4 は定義域内にある。したがって、このとき M=3+a28,t=−a4.\displaystyle M=3+\frac{a^2}{8},\qquad t=-\frac a4.

a>4a>4 のときは、−1≦t≦1-1\le t\le1 より t+1≧0t+1\ge0、2(1−t)≦4<a2(1-t)\le4<a であるから y−(a+1)=(t+1)(2(1−t)−a)≦0.y-(a+1)=(t+1)\bigl(2(1-t)-a\bigr)\le0. 等号は t=−1t=-1 のときに成り立つ。よって M=a+1,t=−1.M=a+1,\qquad t=-1. なお a=4a=4 では前者の式から M=5M=5、t=−1t=-1 となる。

最小値については、−1≦t≦1-1\le t\le1 と a>0a>0 より y−(1−a)=(1−t)(2(1+t)+a)≧0.y-(1-a)=(1-t)\bigl(2(1+t)+a\bigr)\ge0. 等号は t=1t=1 のときに成り立つ。したがって、すべての a>0a>0 について m=1−a,t=1.m=1-a,\qquad t=1.

この問題で使う考え方

  • 二倍角の公式
  • 二次関数のグラフと頂点
  • 二次関数の最大・最小

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