4鹿児島大学 2017年 数学 第4問解答・解説

点Pが第1象限にあるので、$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ とおき、$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ とする。

(1) 楕円の式をxで微分すると、接点での接線の傾きは $\displaystyle -\frac{x}{9y}=-\frac{c}{3s}$ である。したがって、Pを通る接線$\ell$は $$\displaystyle y-s=-\frac{c}{3s}(x-3c),\qquad \frac{c}{3}x+sy=1.$$ ここに$y=2$を代入すると、$Q$のx座標は$\displaystyle \frac{3(1-2s)}{c}$だから、 $$\displaystyle Q\left(\frac{3(1-2\sin\theta)}{\cos\theta},2\right)$$ である。

(2) 三角形の面積を$S$とすると、座標による面積公式から $$\displaystyle S=\frac12\left|6c-\frac{3s(1-2s)}{c}\right|=\frac{3(2-s)}{2c},$$ ここでは$0<s<1$、$c>0$より絶対値の中は正である。また、 $$\displaystyle \frac{(2-s)^2}{1-s^2}-3=\frac{(2s-1)^2}{1-s^2}\geq0.$$ よって$\displaystyle S\geq\frac{3\sqrt3}{2}$であり、等号は$\displaystyle s=\frac12$、すなわち$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のときに成り立つ。このとき$\displaystyle c=\frac{\sqrt3}{2}$なので $$\displaystyle P\left(\frac{3\sqrt3}{2},\frac12\right),\qquad \ell:\frac{\sqrt3}{6}x+\frac12y=1\quad (\sqrt3x+3y=6).$$

(3) このとき$Q=(0,2)$であり、辺$OP$は$\displaystyle y=\frac{x}{3\sqrt3}$である。三角形のxの範囲は$0\leq x\leq a$、ただし$\displaystyle a=\frac{3\sqrt3}{2}$である。この範囲で楕円の上半分は$\displaystyle y=\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}$、辺$PQ$は$\displaystyle y=2-\frac{x}{\sqrt3}$である。$0\leq x\leq a$では $$\displaystyle \left(2-\frac{x}{\sqrt3}\right)^2-\left(1-\frac{x^2}{9}\right)=\left(\frac{2x}{3}-\sqrt3\right)^2\geq0,\qquad 1-\frac{x^2}{9}-\left(\frac{x}{3\sqrt3}\right)^2=1-\frac{4x^2}{27}\geq0.$$ 各辺の高さはこの区間で非負なので、共通部分の上端は楕円、下端は辺$OP$である。したがってその面積は $$\displaystyle \begin{aligned} A&=\int_0^a\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}-\frac{x}{3\sqrt3}\right)dx\\ &=3\int_0^{\pi/3}\cos^2u\,du-\frac{a^2}{6\sqrt3}\qquad (x=3\sin u)\\ &=3\left[\frac{u}{2}+\frac{\sin2u}{4}\right]_0^{\pi/3}-\frac{3\sqrt3}{8}=\frac{\pi}{2}. \end{aligned}$$