3東京大学 2014年 数学 第3問解答・解説

放物線の共有点のx座標xは $$-x^2+1=(x-u)^2+u$$ をみたす。両辺を展開して移項すると、これは $$2x^2-2ux+(u^2+u-1)=0$$ と同値である。

(1) この二次方程式の判別式は $$\Delta=(-2u)^2-4\cdot2(u^2+u-1)=4(2-2u-u^2).$$ 共有点がある条件は$\Delta\ge0$、すなわち$(u+1)^2\le3$である。よって $$a=-1-\sqrt3,\qquad b=-1+\sqrt3.$$

(2) 共有点のx座標を$x_1,x_2$とすると、解と係数の関係より $$\displaystyle x_1+x_2=u,\qquad x_1x_2=\frac{u^2+u-1}{2},\qquad |x_1-x_2|=\sqrt{2-2u-u^2}.$$ また$y_i=1-x_i^2$だから $$x_1y_2-x_2y_1=(x_1-x_2)(1+x_1x_2).$$ ここで$1+x_1x_2=(u^2+u+1)/2>0$。したがって $$f(u)=2|x_1y_2-x_2y_1|=(u^2+u+1)\sqrt{2-2u-u^2}\qquad(a\le u\le b).$$ この式は共有点が重なる端点でも$f(u)=0$となり、条件と一致する。

(3) $t=u+1$とおくと、積分範囲は$-\sqrt3\le t\le\sqrt3$となり、 $$\displaystyle I=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(t^2-t+1)\sqrt{3-t^2}\,dt=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(t^2+1)\sqrt{3-t^2}\,dt,$$ 最後の等号では奇関数$t\sqrt{3-t^2}$の対称区間上の積分が0であることを用いた。 $$\displaystyle \int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\sqrt{3-t^2}\,dt=\frac{3\pi}{2}.$$ さらに$t=\sqrt3\sin\theta$（$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$）と置換すれば $$\displaystyle \int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}t^2\sqrt{3-t^2}\,dt=9\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=\frac{9\pi}{8}.$$ よって $$\displaystyle I=\frac{3\pi}{2}+\frac{9\pi}{8}=\boxed{\frac{21\pi}{8}}.$$